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棗莊市2015年中考數學試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把遮光器的選項選擇出來，每小題選對得3分，選錯、不選或選出的答案超過一個均計零分。
1.下列各式，計算正確的是( )
A. (a+b)2=a2+b2 B. a•a2=a3 C. a8÷a2=a4 D. a3+a2=a5
考點： 同底數冪的除法;合并同類項;同底數冪的乘法;完全平方公式..
分析： 分別根據完全平方公式、同底數冪的乘法及除法法則對各選項進行逐一判斷即可.
解答： 解：A、左邊=a2+b2+2ab≠右邊，故本選項錯誤;
B、左邊=a3=右邊，故本選項正確;
C、左邊=a8﹣2+a6≠右邊，故本選項錯誤;
D、a3與a2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤.
故選B.
點評： 本題考查的是同底數冪的除法，熟知同底數冪的除法法則是解答此題的關鍵.
2.(3分)(2015•棗莊)如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上.如果∠1=20°，那么∠2的度數是( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
考點： 平行線的性質..
專題： 壓軸題.
分析： 根據兩直線平行，內錯角相等求出∠3，再求解即可.
解答： 解：∵直尺的兩邊平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°﹣20°=25°.
故選：C.
點評： 本題考查了兩直線平行，內錯角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.
3.(3分)(2015•棗莊)如圖是由6個相同的小正方體組成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
考點： 簡單組合體的三視圖..
分析： 由已知條件可知，俯視圖有3行，每行小正方數形數目分別為1，3，1;第一行的1個在中間，第三行的1個在最左邊，據此得出答案即可.
解答： 解：由6個相同的小正方體組成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是 .
故選：D.
點評： 此題考查簡單組合體的三視圖，根據看到的小正方形的個數和位置是正確解決問題的關鍵.
4.(3分)(2015•棗莊)實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是( )
A. ac>bc B. |a﹣b|=a﹣b C. ﹣a<﹣b
考點： 實數與數軸..
專題： 數形結合.
分析： 先根據各點在數軸上的位置比較出其大小，再對各選項進行分析即可.
解答： 解：∵由圖可知，a
∴A、ac
B、∵a
∴a﹣b<0，
∴|a﹣b|=b﹣a，故B選項錯誤;
C、∵a
∴﹣a>﹣b，故C選項錯誤;
D、∵﹣a>﹣b，c>0，
∴﹣a﹣c>﹣b﹣c，故D選項正確.
故選：D.
點評： 本題考查的是實數與數軸，熟知數軸上各點與實數是一一對應關系是解答此題的關鍵.
5.(3分)(2015•棗莊)已知直線y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那該直線不經過的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
考點： 一次函數圖象與系數的關系..
分析： 首先根據k+b=﹣5、kb=5得到k、b的符號，再根據圖象與系數的關系確定直線經過的象限，進而求解即可.
解答： 解：∵k+b=﹣5，kb=5，
∴k<0，b<0，
∴直線y=kx+b經過二、三、四象限，即不經過第一象限.
故選：A.
點評： 本題考查了一次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是根據k、b之間的關系確定其符號.
6.(3分)(2015•棗莊)關于x的分式方程 =1的解為正數，則字母a的取值范圍為( )
A. a≥﹣1 B. a>﹣1 C. a≤﹣1 D. a<﹣1
考點： 分式方程的解..
專題： 計算題.
分析： 將分式方程化為整式方程，求得x的值然后根據解為正數，求得a的范圍，但還應考慮分母x+1≠0即x≠﹣1.
解答： 解：分式方程去分母得：2x﹣a=x+1，
解得：x=a+1，
根據題意得：a+1>0且a+1+1≠0，
解得：a>﹣1且a≠﹣2.
即字母a的取值范圍為a>﹣1.
故選：B.
點評： 本題考查了分式方程的解，本題需注意在任何時候都要考慮分母不為0.
7.(3分)(2015•棗莊)如圖，邊長為a，b的矩形的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為( )
A. 140 B. 70 C.[來 35 D. 24
考點： 因式分解的應用..
分析： 由矩形的周長和面積得出a+b=7，ab=10，再把多項式分解因式，然后代入計算即可.
解答： 解：根據題意得：a+b= =7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70;
故選：B.
點評： 本題考查了矩形的性質、分解因式、矩形的周長和面積的計算;熟練掌握矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.
8.(3分)(2015•棗莊)已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是( )
A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. 2
考點： 根與系數的關系..
分析： 根據根與系數的關系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可.
解答： 解：∵關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數根分別為x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故選A.
點評： 本題考查了根與系數的關系的應用，能根據根與系數的關系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此題的關鍵.
9.(3分)(2015•棗莊)如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是( )
A. B. C. D. ﹣1
考點： 旋轉的性質..
分析： 連接AC1，AO，根據四邊 形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三點共線，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，進而求出DC1=OD，根據三角形的面積計算即可.
解答： 解：連接AC1，
∵四邊形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1= ×90°=45°=∠AC1B1，
∵邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，
∴AC1過D點，即A、D、C1三點共線，
∵正方形ABCD的邊長是1，
∴四邊形AB1C1D1的邊長是1，
在Rt△C1 D1A中，由勾股定理得：AC1= = ，
則DC1= ﹣1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD= ﹣1，
∴S△ADO= ×OD•AD= ，
∴四邊形AB1OD的面積是=2× = ﹣1，
故選：D.
點評： 本題考查了正方形性質，勾股定理等知識點，主要考查學生運用性質進行計算的能力，正確的作出輔助線是解題的關鍵.
10.(3分)(2015•棗莊)如圖，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格點正方形).若再作一個格點正方形，并涂上陰影，使這兩個格點正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有( )
A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種
考點： 利用旋轉設計圖案;利用軸對稱設計圖案..
分析： 利用軸對稱圖形的性質以及中心對稱圖形的性質分析得出符合題意的圖形即可.
解答： 解：如圖所示：組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，
則這個格點正方形的作法共有4種.
故選：C.
點評： 此題主要考查了利用軸對稱以及旋轉設計圖案，正確把握相關定義是解題關鍵.
11.(3分)(2015•棗莊)如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等.⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點E，則CE的長為( )
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1.5cm
考點： 切線的性質;等邊三角形的性質..
分析： 連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長.
解答： 解：連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，
∵△ABC為等邊三角形，邊長為4cm，
∴△ABC的高為2 cm，
∴OC= cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC= cm，
即CE=2FC=3cm.
故選B.
點評： 本題主要考查了切線的性質，等邊三角形的性質和解直角三角形的有關知識，題目不是太難，屬于基礎性題目.
12.(3分)(2015•棗莊)如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，對稱軸為x= ，且經過點(2，0)，有下列說法： ①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0，y1)，(1，y2)是拋物線上的兩點，則y1=y2.上述說法正確的是( )
A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①②
考點： 二次函數圖象與系數的關系..
分析： ①根據拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置求得a、b、c的符號;
②根據對稱軸求出b=﹣a;
③把x=2代入函數關系式，結合圖象判斷函數值與0 的大小關系;
④求出點(0，y1)關于直線x= 的對稱點的坐標，根據對稱軸即可判斷y1和y2的大小.
解答： 解：①∵二次函數的圖象開口向下，
∴a<0，
∵二次函數的圖象交y軸的正半軸于一點，
∴c>0，
∵對稱軸是直線x= ，
∴﹣ ，
∴b=﹣a>0，
∴abc<0.
故①正確;
②∵由①中知b=﹣a，
∴a+b=0，
故②正確;
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵拋物線經過點(2，0)，
∴當x=2時，y=0，即4a+2b+c=0.
故③錯誤;
④∵(0，y1)關于直線x= 的對稱點的坐標是(1，y1)，
∴y1=y2.
故④正確;
綜上所述，正確的結論是①②④.
故選：A
點評： 本題考查了二次函數的圖象和系數的關系的應用，注意：當a>0時，二次函數的圖象開口向上，當a<0時，二次函數的圖象開口向下.
二、填空題：本大題共6小題，滿分24分，只要求寫最后結果，每小題填對得4分。
13.(4分)(2015•棗莊)已知a，b滿足方程組 ，則2 a+b的值為 8 .
考點： 解二元一次方程組..
分析： 求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出2a+b的值.
解答： 解：解方程組得 ，
所以2a+b的值=8，
故答案為：8.
點評： 此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
14.(4分)(2015•棗莊)如圖，平面上直線a，b分別經過線段OK兩端點(數據如圖)，則a，b相交所成的銳角是 30° .
考點： 三角形的外角性質..
分析： 根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.
解答： 解：由三角形的外角性質得，a，b相交所成的銳角的度數是100°﹣70°=30°.
故答案為：30°.
點評： 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題的關鍵.
15.(4分)(2015•棗莊)如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點.若AD=6，DE=5，則CD的長等于 8 .
考點： 勾股定理;直角三角形斜邊上的中線..
專題： 計算題.
分析： 由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可.
解答： 解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10.
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據勾股定理，得
CD= = =8.
故答案是：8.
點評： 本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點.
16.(4分)(2015•棗莊)在一個不透明的盒子中有12個白球，若干個黃球，它們除了顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球是黃球的概率是 ，則黃球的個數 6 .
考點： 概率公式..
專題： 計算題.
分析： 設黃球的個數為x個，根據概率公式得到 = ，然后解方程即可.
解答： 解：設黃球的個數為x個，
根據題意得 = ，解得x=6，
所以黃球的個數為6個.
故答案為6.
點評： 本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數.
17.(4分)(2015•棗莊)如圖，直線y=2x+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC，將點C向左平移，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則點C′的坐標為 (﹣1，2) .
考點： 一次函數圖象上點的坐標特征;等邊三角形的性質;坐標與圖形變化-平移..
專題： 數形結合.
分析： 先求出直線y=2x +4與y軸交點B的坐標為(0，4)，再由C在線段OB的垂直平分線上，得出C點縱坐標為2，將y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到C′的坐標為(﹣1，2).
解答： 解：∵直線y=2x+4與y軸交于B點，
∴x=0時，
得y=4，
∴B(0，4).
∵以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC，
∴C在線段OB的垂直平分線上，
∴C點縱坐標為2.
將y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣1.
故答案為：(﹣1，2).
點評： 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，坐標與圖形變化﹣平移，得出C點縱坐標為2是解題的關鍵.
18.(4分)(2015•棗莊)如圖，在平面直角坐標系中，點A(0，4)，B(3，0)，連接AB，將△AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A′處，折痕所在的直線交y軸正半軸于點C，則直線BC的解析式為 y=﹣ x+ .
考點： 翻折變換(折疊問題);待定系數法求一次函數解析式..
專題： 計算題.
分析： 在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理計算出AB=5，再根據折疊的性質得BA′=BA=5，CA′=CA，則OA′=BA′﹣OB=2，設OC=t，則CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中，根據勾股定理得到t2+22=(4﹣t)2，解得t= ，則C點坐標為(0， )，然后利用待定系數法確定直線BC的解析式.
解答： 解：∵A(0，4)，B(3，0)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，AB= =5，
∵△AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A′處，
∴BA′=BA=5，CA′=CA，
∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2，
設OC=t，則CA=CA′=4﹣t，
在Rt△OA′C中，
∵OC2+OA′2=CA′2，
∴t2+22=(4﹣t)2，解得t= ，
∴C點坐標為(0， )，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B(3，0)、C(0， )代入得 ，解得 ，
∴直線BC的解析式為y=﹣ x+ .
故答案為：y=﹣ x+ .
點評： 本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了勾股定理和待定系數法求一次函數解析式.
三、解答題：本大題共7小題，滿分60分。解答時，要寫出必要得文字說明、證明過程或演算步驟。
19.(8分)(2015•棗莊)先化簡，再求值：( +2﹣x)÷ ，其中x滿足x2﹣4x+3=0.
考點： 分式的化簡求值;解一元二次方程-因式分解法..
分析： 通分相加，因式分解后將除法轉化為乘法，再將方程的解代入化簡后的分式解答.
解答： 解：原式= ÷
= •
=﹣ ，
解方程x2﹣4x+3=0得，
(x﹣1)(x﹣3)=0，
x1=1，x2=3.
當x=1時，原式無意義;當x=3時，原式= ﹣ =﹣ .
點評： 本題綜合考查了分式的混合運算及因式分解同時考查了一元二次方程的解法.在代入求值時，要使分式有意義.
20.(8分)(2015•棗莊)已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是 (2，﹣2) ;
(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是 (1，0) ;
(3)△A2B2C2的面積是 10 平方單位.
考點： 作圖-位似變換;作圖-平移變換..
專題： 作圖題.
分析： (1)利用平移的性質得出平移后圖象進而得出答案;
(2)利用位似圖形的性質得出對應點位置即可;
(3)利用等腰直角三角形的性質得出△A2B2C2的面積.
解答： 解：(1)如圖所示：C1(2，﹣2);
故答案為：(2，﹣2);
(2)如圖所示：C2(1，0);
故答案為：(1，0);
(3)∵A2C22=20，B2C =20，A2B2 =40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面積是： ×20=10平方單位.
故答案為：10.
點評： 此題主要考查了位似圖形的性質以及平移的性質和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標是解題關鍵.
21.(8分)(2015•棗莊)在大課間活動中，同學們積極參加體育鍛煉，小明在全校隨機抽取一部分同學就“我最喜愛的體育項目”進行了一次抽樣調查.下面是他通過收集的數據繪制的兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)小明共抽取 50 名學生;
(2)補全條形統計圖;
(3)在扇形統計圖中，“立定跳遠”部分對應的圓心角的度數是 115.2° ;
(4)若全校共有2130名學生，請你估算“其他”部分的敘述人數.
考點： 條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖..
專題： 計算題.
分析： (1)畫出統計圖，根據跳繩的人數除以占的百分比即可得出抽取的學生總數;
(2)根據總學生數，求出踢毽子與其中的人數，補全條形統計圖即可;
(3)根據立定跳遠占的百分比乘以360即可得到結果;
(4)由其他占的百分比，乘以2130即可得到結果.
解答： 解：(1)根據題意得：15÷30%=50(名)，
則小明共抽取50名學生;
(2)根據題意得：踢毽子人數為50×18%=9(名)，其他人數為50×(1﹣30%﹣18%﹣32%)=10(名)，
補全條形統計圖，如圖所示：
;
(3)根據題意得：360°×32%=115.2°，
則“立定跳遠”部分對應的圓心角的度數是115.2°;
(4)根據題意得“其他”部分的學生有2130×20%=426(名).
故答案為：(1)50;(3)115.2°
點評： 此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體，弄清題中的數據是解本題的關鍵.
22.(8分)(2015•棗莊)如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y= (x>0)的圖象交于A(m，6)，B(3，n)兩點.
(1)求一次函數的解析式;
(2)根據圖象直接寫出使kx+b< 成立的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題..
分析： (1)先把A、B點坐標代入y= 求出m、n的值;然后將其分別代入一次函數解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組求得它們的值即可;
(2)根據圖象可以直接寫出答案;
(3)分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點.直線AB交x軸于D點.S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面積公式可以直接求得結果.
解答： 解：(1)∵點A(m，6)，B(3，n)兩點在反 比例函數y= (x>0)的圖象上，
∴m=1，n=2，
即A(1，6)，B(3，2).
又∵點A(m，6)，B(3，n)兩點在一次函數y=kx+b的圖象上，
∴ .
解得 ，
則該一次函數的解析式為：y=﹣2x+3;
(2)根據圖象可知使kx+b< 成立的x的取值范圍是0
(3)分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點.直線AB交x軸于D點.
令﹣2x+8=0，得x=4，即D(4，0).
∵A(1，6)，B(3，2)，
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD= ×4×6﹣ ×4×2=8.
點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：先由點的坐標求函數解析式，然后解由解析式組成的方程組求出交點的坐標，體現了數形結合的思想.
23.(8分)(2015•棗莊)如圖，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O.
(1)求證：BO=DO;
(2)若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長.
考點： 平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形..
分析： (1)通過證明△ODF與△OBE全等即可求得.
(2)由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因為EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長和EF=2，然后等腰直角三角形的性質即可求得.
解答： (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF與△OBE中
∴△ODF≌△OBE(AAS)
∴BO=DO;
(2)解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE(AAS)
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG= =DO，
∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD
∴AD=2 ，
點評： 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質以及平行線分行段定理.
24.(10分)(2015•棗莊)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由;
(2)求證：BC2=CD•2OE;
(3)若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的長.
考點： 切線的判定;相似三角形的判定與性質..
分析： (1)連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線;
(2)證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得;
(3)在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據三角形中位線定理OE的長即可求得.
解答： (1)證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE= BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠AD O+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為⊙O的切線;
(2)證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=AC•CD.
∴BC2=2CD•OE;
(3)解：∵cos∠BAD= ，
∴sin∠BAC= = ，
又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12，
∴AC=15.
又∵AC=2OE，
∴OE= AC= .
點評： 本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質等知識點.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.
25.(10分)(2015•棗莊)如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( ， )和B(4，m)，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長 有最大值?若存在，求出這個最大值;若不存在，請說明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標.
考點： 二次函數綜合題..
專題： 幾何綜合題;壓軸題.
分析： (1)已知B(4，m)在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值.
(2)要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的 差.可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函 數的性質即可求出PC的最大值.
(3)當△PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解.
解答： 解：(1)∵B(4，m)在直線y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4，6)，
∵A( ， )、B(4，6)在拋物線y=ax2+bx+6上，
∴ ，解得 ，
∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6.
(2)設動點P的坐標為(n，n+2)，則C點的坐標為(n，2n2﹣8n+6)，
∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)，
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2(n﹣ )2+ ，
∵PC>0，
∴當n= 時，線段PC最大且為 .
(3)∵△PAC為直角三角形，
i)若點P為直角頂點，則∠APC=90°.
由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在;
ii)若點A為直角頂點，則∠PAC=90°.
如答圖3﹣1，過點A( ， )作AN⊥x軸于點N，則ON= ，AN= .
過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，
∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，
∴M(3，0).
設直線AM的解析式為：y=kx+b，
則： ，解得 ，
∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3 ①
又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6 ②
聯立①②式，解得：x=3或x= (與點A重合，舍去)
∴C(3，0)，即點C、M點重合.
當x=3時，y=x+2=5，
∴P1(3，5);
iii)若點C為直角頂點，則∠ACP=90°.
∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.
如答圖3﹣2，作點A( ， )關于對稱軸x=2的對稱點C，
則點C在拋物線上，且C( ， ).
當x= 時，y=x+2= .
∴P2( ， ).
∵點P1(3，5)、P2( ， )均在線段AB上，
∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為(3，5)或( ， ).
點評： 此題主要考查了二次函數解析式的確定、二次函數最值的應用以及直角三角形的判定、函數圖象交點坐標的求法等知識.
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