2016年高考數學備考專項模擬題及答案

　　題型一、古典概型問題

　　例1：某班級的某一小組有6位學生，其中4位男生，2位女生，現從中選取2位學生參加班級志愿者小組，求下列事件的概率：

　　(1)選取的2位學生都是男生;

　　(2)選取的2位學生一位是男生，另一位是女生。

　　破題切入點：先求出任取2位學生的基本事件的總數，然后分別求出所求的兩個事件含有的基本事件數，再利用古典概型概率公式求解。

　　解：(1)設4位男生的編號分別為1,2,3,4,2位女生的編號分別為5,6。從6位學生中任取2位學生的所有可能結果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種。

　　從6位學生中任取2位學生，所取的2位全是男生的方法數，即從4位男生中任取2個的方法數，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。

　　所以選取的2位學生全是男生的概率為P1=。

　　(2)從6位學生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種。

　　所以選取的2位學生一位是男生，另一位是女生的概率為P2=。

　　題型二、幾何概型問題

　　例2：(2013·四川改編)節日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是________。

　　破題切入點：由幾何概型的特點，利用數形結合即可求解。

　　設在通電后的4秒鐘內，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知，如圖所示。∴兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x-y|≤2)=。

　　題型三、古典概型與幾何概型的綜合問題

　　例3：已知關于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R。

　　(1)若a是從1,2,3三個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求已知方程有兩個不相等實根的概率;

　　(2)若a是從區間[0,3]內任取的一個數，b是從區間[0,2]內任取的一個數，求已知方程有實數根的概率。

　　破題切入點：本題中含有兩個參數，顯然要將問題轉化為含參數的一元二次方程有解的條件問題。

　　第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結合題意求解。

　　第(2)問將a，b滿足的不等式轉化為可行域——平面區域問題，從而利用幾何概型的概率公式求解。

　　解：設事件A為“方程9x2+6ax-b2+4=0有兩個不相等的實數根”;事件B為“方程9x2+6ax-b2+4=0有實數根”。

　　(1)由題意，知基本事件共9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值。

　　由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4。

　　事件A要求a，b滿足條件a2+b2>4，可知包含6個基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

　　所以方程有兩個不相同實根的概率P(A)=。

　　(2)由題意，方程有實根的區域為圖中陰影部分，

　　故所求概率為：P(B)=1-。

　　總結提高：

　　(1)求解古典概型問題的三個步驟

　　①判斷本次試驗的結果是否是等可能的，設出所求事件A。

　　②分別計算基本事件的總數n和所求事件A所包含的基本事件的個數m。

　　③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率。若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對立事件的概率，進而再求所求事件的概率。

　　(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結果，每個基本結果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結果對應于一個區域Ω，這時，與試驗有關的問題即可利用幾何概型來解決。

　　(3)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉化為長度、面積或體積等幾何問題。在轉化中，面積問題的求解常常用到線性規劃知識，也就是用二元一次不等式(或其他簡單不等式)組表示區域。幾何概型的試驗中事件A的概率P(A)只與其所表示的區域的幾何度量(長度、面積或體積)有關，而與區域的位置和形狀無關。

　　1.從標有1,2,3，…，7的7個小球中取出一球，記下它上面的數字，放回后再取出一球，記下它上面的數字，然后把兩數相加得和，則取得的兩球上的數字之和大于11或者能被4整除的概率是________。

　　2.已知實數a，b滿足x1，x2是關于x的方程x2-2x+b-a+3=0的兩個實根，則不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐標系如圖。

　　滿足題意的區域為圖中陰影部分，故所求概率P=。

　　3.(2014·陜西改編)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________。

　　解析：取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為=。

　　4.有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________。

　　答案解析：設點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1==，故點P到點O的距離大于1的概率P=1-=。

　　5.在面積為S的矩形ABCD內隨機取一點P，則△PBC的面積小于的概率是________。

　　答案解析：如圖，M，N分別為AB，CD中點，

　　當點P位于陰影部分時，

　　△PBC的面積小于，根據幾何概型，其概率為P=。

　　6.已知點A在坐標原點，點B在直線y=1上，點C(3,4)，若AB≤，則△ABC的面積大于5的概率是________。

　　答案解析：設B(x,1)，根據題意知點D(，1)，

　　若△ABC的面積小于或等于5，則×DB×4≤5，即DB≤，

　　所以點B的橫坐標x∈[-，]，而AB≤，

　　所以點B的橫坐標x∈[-3,3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為P=，

　　所以△ABC的面積大于5的概率是1-P=。

　　7.(2013·湖北)在區間[-2,4]上隨機地取一個數x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m=________。

　　答案：3

　　解析：由|x|≤m，得-m≤x≤m。

　　當m≤2時，由題意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去。

　　當2n。

　　如圖，由題意知，在矩形ABCD內任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m=n恰好將矩形平分，

　　∴所求的概率為P=。

　　9.(2013·江蘇)現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為______。

　　答案解析：P=。

　　10.平面內有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________。

　　答案解析：如圖所示，當硬幣中心落在陰影區域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為。

　　11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y)。

　　(1)若x、y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a·b=-1的概率;

　　(2)若x，y在連續區間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率。

　　解：(1)將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數為6×6=36(個);

　　由a·b=-1有-2x+y=-1，

　　所以滿足a·b=-1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個;

　　故滿足a·b=-1的概率為=。

　　(2)若x，y在連續區間[1,6]上取值，則全部基本事件的結果為Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};

　　滿足a·b<0的基本事件的結果為

　　A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};

　　畫出圖形如圖，

　　矩形的面積為S矩形=25，

　　陰影部分的面積為S陰影=25-×2×4=21，

　　故滿足a·b<0的概率為。

　　12.某同學參加省學業水平測試，物理、化學、生物成績獲得等級A和獲得等級不是A的機會相等，且三個學科成績獲得等級A的事件分別記為W1，W2，W3，獲得等級不是A的事件分別記為，。

　　(1)試列舉該同學在這次水平測試中物理、化學、生物成績是否為A的所有可能結果(如三科成績均為A記為(W1，W2，W3));

　　(2)求該同學參加這次水平測試獲得兩個A的概率;

　　(3)試設計一個關于該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由。

　　解：(1)該同學在這次水平測試中物理、化學、生物成績是否為A的可能結果有8種，分別為(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W3)，(W1，W2)，(W3)，(W2)，(W1，)。

　　(2)由(1)，知有兩個A的情況為(W2，W3)，(W1，W3)，(W1，W2，)，共3種，從而所求概率為P=。

　　(3)方法一：該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績不全為A的事件概率大于85%。

　　理由如下：該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績不全為A的事件有如下7種情況：(，W2，W3)，(W1，W3)，(W1，W2，)，(，W3)，(W2，)，(W1，)，故物理、化學、生物成績不全為A的概率是P1=0.875>85%。

　　方法二：該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績至少一個為A的事件概率大于85%。

　　理由如下：該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績全不為A的事件有1種情況，其概率為，則物理、化學、生物成績至少一個為A的概率為P2=1=>85%。

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